라그랑주 중간값 정리(Lagrange Mean Value Theorem)

라그랑주 중간값 정리:
연속 함수 $f$가 구간 $[a, b]$에서 연속이고 열린 구간 $(a, b)$에서 미분 가능하다고 하자. 그러면 적어도 하나의 점 $c \in (a, b)$가 존재하여 다음 식을 만족합니다:
$$f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$$

이 정리는 함수 $f$의 기울기가 구간 $[a, b]$에서 평균 기울기와 같은 점이 적어도 하나 존재함을 의미합니다.

예시:
함수 $f(x) = x^2$를 구간 $[1, 3]$에서 고려해보겠습니다. 이 함수는 연속이고 미분 가능하므로 라그랑주 중간값 정리를 적용할 수 있습니다.

먼저 구간의 양 끝점에서 함수 값을 계산합니다:
$$f(1) = 1^2 = 1$$
$$f(3) = 3^2 = 9$$

이제 평균 기울기를 계산합니다:
$$\frac{f(3) - f(1)}{3 - 1} = \frac{9 - 1}{3 - 1} = \frac{8}{2} = 4$$

라그랑주 중간값 정리에 따르면, 구간 $(1, 3)$ 내에 적어도 하나의 점 $c$가 존재하여 $f'(c) = 4$가 됩니다. $f(x) = x^2$의 도함수를 구하면:
$$f'(x) = 2x$$

따라서, $2c = 4$가 되는 $c$는 $c = 2$입니다. 이는 $c \in (1, 3)$를 만족합니다.

따라서, $f(x) = x^2$는 구간 $[1, 3]$에서 평균 기울기 $4$를 가지는 점 $c = 2$를 가집니다. 이로써 라그랑주 중간값 정리가 성립함을 확인할 수 있습니다.